Álgebra lineal Ejemplos

$10 x + 2 y = 6$ , $- 25 x + k y = - 14$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & 2 & 6 \\ y & - 25 & 0 & - 14 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & - 25 & 0 & - 14 \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

Paso 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{- 25}{y} & \frac{0}{y} & \frac{- 14}{y} \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ \frac{0}{10} & \frac{10}{10} & \frac{2}{10} & \frac{6}{10} \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Paso 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{25}{y} \cdot 0 & - \frac{25}{y} + \frac{25}{y} \cdot 1 & 0 + \frac{25}{y} \cdot \frac{1}{5} & - \frac{14}{y} + \frac{25}{y} \cdot \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{y} & \frac{1}{y} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$k + \frac{5 y}{y} = \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $k$ .

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 4.1.1

Resta $\frac{1}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$k + \frac{5 y}{y} - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común.

$k + \frac{5 y}{y} - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 4.1.2.2

Divide $5$ por $1$ .

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $k$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$k - \frac{1}{y} = - 5$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 4.2.2

Suma $\frac{1}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 5

Resta $\frac{y}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{3}{5} - \frac{y}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

Paso 6

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(- 5 + \frac{1}{y}, \frac{3}{5} - \frac{y}{5}, y)$

Paso 7

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 + \frac{1}{y} \\ \frac{3}{5} - \frac{y}{5} \\ y \end{array}]$